C. Notasi Sigma dan Induksi Matematika

Notasi sigma yang dilambangkan dengan” ∑ “ adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret.

Jika diketahui suatu barisan tak berhingga a1, a2, a3,. . . an dengan n > 1, maka jumlah dari n suku pertama barisan tersebut dinyatakan dengan .

 = a1, a2, a3,. . . an

Jumlah suatu deret aritmetika dan geometri  (Sn) dapat ditulis dalam notasi sigma, yaitu:

Sn =  = U1, U2, U3 ,. . . Un

Untuk deret aritmetika :

Sn =  = a + (a + b) + (a + 2b) + . . . + (a + (n – 1)b)

Untuk deret geometri :

Sn =  = a + ar + ar2 + . . . + arn-1

 

Pada contoh nomor 2, kalian menyatakan bahwa jumlah  n bilangan ganjil pertama adalah n2. Adapun pada contoh nomor 3, kalian menyatakan bahwa jumlah n bilangan kuadrat pertama adalah n ( n+ 1) (2n + 1). Apakah rumus yang kalian tuliskan tersebut benar?

Untuk membuktikannya, kalian dapat menggunakan induksi matematika yang telah kalian pelajari di kelas X. Langkah-langkah pembukuan tersebut adalah sebagai berikut :

  1. Buktikan rumus tersebut berlaku untuk n = 1
  2. Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k
  3. Buktikanlah bahwa rumus tersebut berlaku juga untuk n = k + 1

Dengan induksi matematika ini, kalian dapat membuktikan contoh nomor 2 dan contoh nomor 3.

Akan dibuktikan 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2

Misalkan, P(n) = 2n – 1

Untuk n = 1, P(1) = 2 . 1 – 1 = 1

Jadi, untuk n = 1, rumus berlaku sebab ruas kiri dan ruas kanan persamaan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu 1.

Misalkan rumus berlaku untuk n = k, maka 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k2

Selidiki, apakah rumus berlaku untuk n = k + 1 ?

Untuk n = k + 1, pada ruas kiri didapat,

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) + (2( k + 1) – 1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2

 

k2

Pada ruas kanan persamaan, didapat ( k + 1)2.

Jadi, untuk n = k + 1, ruas kiri dan ruas kanan persamaan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu ( k + 1)2.

Dengan demikian, 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2 berlaku untuk n = k dan untuk

n = k + 1, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2 berlaku untuk semua n bilangan asli.

Sekarang akan dibuktikan  1 + 4 + 9 + 16 + . . .  + n2 =  n (n + 1) (2n + 1).

Misalkan P(n) = n2.

Untuk n = 1, pada ruas kiri persamaan P(1) = 12 = 1.

Pada ruas kanan didapat  1 (1 + 1) (2.1 + 1) =  . 2. 3 = 1

Jadi, untuk n = 1 rumus berlaku, sebab ruas kiri dan ruas persamaan.

Misalkan rumus tersebut berlaku untuk n = k, maka

1 + 4 + 9 + 16 + . . . + k2 =  k (k + 1) (2k + 1).

Selidiki, apakah rumus berlaku untuk n = k + 1 ?

Untuk n = k + 1, didapat ruas kiri persamaan,

1 + 4 + 9 + 16 + . . . + k2 + (k + 1)2             =  k (k + 1) (2k + 1) + (k + 1)2

 

             k (k + 1) (2k + 1)                  = ( k + 1)

= (k + 1) (2k2 + 7k + 6)

= (k + 1) (k + 2) (2k + 3)

Pada ruas kanan persamaan, juga didapat  (k + 1) (k + 2) (2k + 3).

Jadi, untuk n = k + 1, ruas kiri dan ruas kanan persamaan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu (k + 1) (k + 2) (2k + 3).

Dengan demikian, 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + n2 =  n (n + 1) (2n + 1) berlaku untuk n = k dan untuk n = k + 1 sehingga kalian dapat membuat kesimpulan bahwa 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + n2 =  n (n + 1) (2n + 1) dimana n adalah bilangan asli.

Berikut ini adalah sifat-sifat notasi sigma.

Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c  R, maka berlaku :