Relasi dan Fungsi

 

Dalam kehidupan nyata, senantiasa ada hubungan (relasi) antara dua hal atau unsur-unsur  dalam  suatu  kelompok.  Misalkan,  hubungan  antara  suatu  urusan  dengan nomor telepon, antara pegai dengan gajinya, dan lain-lain. Pada bab ini, akan dibahas tentang  hubungan  antara  dua  himpunan  tak  kosong  dengan  suatu  aturan  pengkaitan tertentu. Pembahasan tersebut meliputi definisi relasi dan fungsi, operasi beserta sifat- sifatnya.

 

Pada bab sebelumnya, telah dibahas tentang Cartesian product, yaitu berupa pasangan terurut yang menyatakan hubungan dari dua himpunan. Semua pasangan terurut yang mungkin merupakan anggota dari himpunan hasil Cartesian product dua buah himpunan. Sebagian dari anggota himpunan tersebut mempunyai hubungan yang khusus (tertentu) antara dua unsur pada pasangan urut tersebut, dengan aturan tertentu. Aturan yang  menghubungkan  antara  dua  himpunan  dinamakan  relasi  biner. Relasi  antara himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu. Dengan demikian relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A atau  R ⊆ (A B).

Notasi dari suatu relasi biner adalah a R b atau (a, b) ∈ R. Ini berarti bahwa a dihubungankan dengan b oleh R.  Untuk menyataan bahwa suatu unsur dalam cartesian product bukan merupakan unsur relasi adalah a R b atau  (a, b) ∉ R, yang artinya a tidak dihubungkan  oleh  oleh  relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh :

Misalkan A = {2, 3, 4} dan  B = {2, 4, 8, 9, 15}.

Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan aturan : (a, b) ∈ jika a faktor prima dari

Jawab :

Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, cartesian product A B adalah :

A B = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 9), (2, 15), (3, 2), (3, 4), (3, 8), (3, 9), (3, 15), (4, 2), (4, 4), (4, 8), (4, 9), (4, 15)}

Dengan menggunakan definisi relasi diatas, relasi R dari A ke B yang mengikuti aturan   tersebut adalah : = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 9), (3, 15) }

Relasi dapat pula terjadi hanya pada sebuah himpunan, yaitu relasi pada A.. Relasi pada himpunan A merupakan himpunan bagian dari cartesian product A A

Contoh  :

Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh :

(x, y) ∈  jika dan hanya jika x habis dibagi oleh  y.

Jawab :

Relasi R pada  yang mengikuti aturan tersebut adalah :

R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8, 2), (8, 4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}

Relasi Biner

  • Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A ´ B.
  • Notasi: R Í (A ´ B).
  • a R b adalah notasi untuk (a, b) Î R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R
  • a R b adalah notasi untuk (a, b) Ï R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.
  • Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

Contoh:

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) Î R  jika p habis membagi q, maka kita peroleh

R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

  • Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus
  • Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ´ A.
  • Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A ´ A.

Representasi Relasi

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

2. Representasi Relasi dengan Tabel

  • Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Tabel 1                                Tabel 2         Tabel 3

A B   P Q   A A
Amir IF251 2 2 2 2
Amir IF323 2 4 2 4
Budi IF221 4 4 2 8
Budi IF251 2 8 3 3
Cecep IF323 4 8 3 3
3 9
3 15

 

3. Representasi Relasi dengan Matriks

  • Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}.
  • Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],

b1       b2      ¼     bn

M =

yang dalam hal ini

4.  Representasi Relasi dengan Graf Berarah

  • Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
  • Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.
  • Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)
  • Jika (a, b) Î R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
  • Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Contoh :Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

R direpresentasikan dengan graf berarah sbb: